Ez most kicsit paradox lesz, de azért vizsgáljuk meg ezeket az állításokat:

 

1. Ha ez az állítás igaz, akkor létezik a Mikulás.
2. Ha létezik a Mikulás, akkor ez az állítás igaz.

3. Ez a mondat ugyanannyira igaz, mint az, hogy létezik a Mikulás.

4. Ez a mondat hamis.

 

Ezekkel az a gond, hogy ha feltesszük, hogy van valamilyen igazságértékük, akkor vagy ellentmondást kapunk, vagy bebizonyítjuk a Mikulás létezését.

 

Az a kérdés, hogy lehet-e ezt a paradoxont logikai kombinátorokkal bemutatni.

 

Tegyük fel, hogy van egy φ függvény, ami minden kombinátorhoz egy logikai értéket rendel. Ez még önmagában nem vezet ellentmondáshoz, ezért vizsgáljunk meg három alesetet:

 

1. Tegyük fel, hogy létezik egy n kombinátor (negáló), amelyre φ(nx) = not(φ(nx)) Ekkor az lesz a gond, ha valamely y-ra y=ny, mert akkor φ(y) = φ(ny) = not(φ(y)). Ez az y nem más, mint a θn. (Ez összehasonlítható a fenti 4. állítással.)

 

2. Tegyük fel, hogy létezik egy e kombinátor (ekvivalencia), amelyre φ(exy) = φ(x)=φ(y). Ekkor bármely x-re bebizonyíthatjuk, hogy φ(x)=igaz, ha találunk egy y elemet, amelyre y=exy [ilyen az y=θ(ex)], mert akkor φ(y) = φ(exy) = (φ(x)=φ(y)), amiből pedig φ(x)=igaz következik. (Ez összehasonlítható a fenti harmadik állítással.)

 

3. Tegyük fel, hogy létezik egy p kombinátor (implikátor), amelyre φ(pxy) = not(φ(x)) or φ(y). Ekkor egy tetszőleges x-re legyen y=θ(Cpx), mert akkor y = Cpxy = pyx, amiből φ(y) = φ(pxy) = not(φ(y)) or φ(x), ami csak akkor teljesülhet, ha φ(y)=φ(x)=igaz. (Ez összehasonlítható a fenti 1. állítással.)

4. A fenti 2. állítás nem vezet nyilvánvaló ellentmondáshoz, de a teljesség kedvéért annak is találjuk meg a megfelelőjét: y=θ(px), ekkor y = pxy, ami összehasonlítható a 'ha x igaz, akkor ez az állítás igaz'-zal.